Grundfläche des Tetraeder aus Pol-Sicht Schräge Seitenfläche des Tetraeders aus Äquator-Sicht

Betrachten wir zunächst die Grundfläche des Tetraeders, also die Fläche, die in der Breitengradebene liegt: ein gleichseitiges Dreieck. Davon der "Mittelpunkt" also der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden heisse C. Einer der Eckpunkte heisse B. Die Seitenlänge des Tetraeders sei a, dann hat die Strecke BC die Länge |BC| = a/sqrt(3), das folgt daraus, daß BC auf einer Seitenhalbierenden liegt mit der Länge a/2*sqrt(3) und die Stecke BC zum Rest im Verhältnis 2:1 steht (Satz über Seitenhalbierende). Man betrachte nun das Dreieck ABC, wobei A der Mittelpunkt der ist. Die Strecke AB ist der Radius der Kugel, also |AB| = a/4*sqrt(6). Die Strecke AC berechnet man mit Pythagoras: |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 |AC| = sqrt( 1/16*6*a^2 - 1/3*a^2 ) = a*sqrt(3/8 - 1/3) |AC| = a/sqrt(24) Das gesuchte x ist der Winkel von der Äquatorebene zu AB: sin x = |AC| / |AB| sin x = a/sqrt(24) / (a/4*sqrt(6)) sin x = 1/3 [Dirk Hoppe]

Eine allgemeine n-dimensionale Lösung

Dann lauten die verschobenen Punkte

	P0	P1	P2	P3
x	0	cos B	-1/2*cos B	-1/2*cos B
y	0	0	sqrt(3)/2*cos B	-sqrt(3)/2*cos B
z	-1	sin B	sin B	sin B

Damit es ein gleichseitiges Tetraeder wird, muss der Zentriwinkel zwischen Südpol und einem der Punkte einerseits und der Zentriwinkel zwischen zwei benachbarten Punkten gleich sein.

Wenn man beachtet, dass das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren den cos des Winkels zwischen ihnen angibt, so muss gelten

Dies kann man übrigens in beliebige Dimensionen ausdehnen. Der Sinus des Zentriwinkels zwischen je zwei Punktes eines in eine n-Sphäre eingeschriebenen regelmaessigen n-Simplex beträgt -1/n.

[Horst Kraemer]