Groundplane of tetrahedron, viewed from pole side-plane of tetrahedron, viewed from equator

Betrachten wir zunächst die Grundfläche des Tetraeders, also die Fläche, die in der Breitengradebene liegt: ein gleichseitiges Dreieck. Davon der "Mittelpunkt" also der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden heisse C. Einer der Eckpunkte heisse B. Die Seitenlänge des Tetraeders sei a, dann hat die Strecke BC die Länge |BC| = a/sqrt(3), das folgt daraus, daß BC auf einer Seitenhalbierenden liegt mit der Länge a/2*sqrt(3) und die Stecke BC zum Rest im Verhältnis 2:1 steht (Satz über Seitenhalbierende). Man betrachte nun das Dreieck ABC, wobei A der Mittelpunkt der ist. Die Strecke AB ist der Radius der Kugel, also |AB| = a/4*sqrt(6). Die Strecke AC berechnet man mit Pythagoras: |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 |AC| = sqrt( 1/16*6*a^2 - 1/3*a^2 ) = a*sqrt(3/8 - 1/3) |AC| = a/sqrt(24) Das gesuchte x ist der Winkel von der Äquatorebene zu AB: sin x = |AC| / |AB| sin x = a/sqrt(24) / (a/4*sqrt(6)) sin x = 1/3 [Dirk Hoppe]

A general n-dimensional solution

Then the moved points are

	P0	P1	P2	P3
x	0	cos B	-1/2*cos B	-1/2*cos B
y	0	0	sqrt(3)/2*cos B	-sqrt(3)/2*cos B
z	-1	sin B	sin B	sin B

To be an equilateral tetrahedon, the central angle between southpole and one of these points on the one hand and the central angle between two neighbored points has to be the same.

Concerning, that the scalar-product of two unit-vectors is the cos() of the enclosed angle of them, so it follows

From this you get as solution in sin B with 1/3 and 0.

BTW: This can be calculated in every dimension. The sin() of the central-angle between two points of equilateral n-simplex in a n-sphere is -1/n.

[idea by Horst Kraemer]